이 글은 Eigenvalues (Definition, Properties, Examples) 을 바탕으로 작성되었습니다.

.

고유값(eigenvalues)은 선형 대수에서 고유벡터(eigenvectors)와 관련이 있습니다. 이 두 용어는 주로 행렬 방정식에서 선형 변환의 분석에 사용됩니다. 고유값은 선형 방정식 세트와 연관된 특별한 스칼라 값입니다.

고유벡터는 특징적인 뿌리(characteristic roots)라고도 하며, 선형 변환이 적용된 후에 최대 스칼라 요인으로 변경될 수 있는 0이 아닌 벡터입니다. 고유벡터를 스케일링하는 해당 요인은 고유값이라고 합니다.

출처: Eigenvector and Eigenvalue

고유값 (Eigenvalue)

고유값은 선형 방정식 시스템과 관련된 특별한 스칼라 집합입니다. 주로 행렬 방정식에서 사용됩니다. ‘고유’는 독일어로 ‘고유한’ 또는 ‘특징적인’이라는 의미입니다. 따라서 고유값은 특징 값, 특징 뿌리, 고유 값 또는 잠재 뿌리라고도 합니다. 간단히 말해, 고유값은 고유벡터를 변환하는 데 사용되는 스칼라입니다. 기본 방정식은 다음과 같습니다:

$Ax = \lambda x$

여기서 숫자 또는 스칼라 값 $\lambda$ 는 $A$ 의 고유값입니다.

수학에서 고유벡터는 변환에 의해 늘어나는 방향을 가리키는 실제 0이 아닌 고유값에 해당하며, 고유값은 확장되는 요인으로 간주됩니다. 고유값이 음수인 경우 변환의 방향이 음수입니다.

모든 실수 행렬에는 고유값이 있습니다. 때로는 복소수일 수도 있습니다. 복소수 행렬의 고유값 존재는 대수학의 기본 정리와 같습니다.

고유벡터 (Eigenvector)

고유벡터는 선형 변환이 적용될 때 방향이 변하지 않는 벡터(0이 아닌)입니다. 오직 스칼라 배수만큼 변합니다. 간단히 말해, A가 벡터 공간 V의 선형 변환이고 x가 V의 0이 아닌 벡터일 때, A(X)가 x의 스칼라 배수라면 x는 A의 고유벡터입니다.

벡터 x의 고유 공간은 동일한 고유값을 가지는 모든 고유벡터와 영벡터의 집합으로 구성됩니다. 영벡터는 고유벡터가 아닙니다.

A가 “n × n” 행렬이고 λ가 행렬 A의 고유값이라면, 0이 아닌 벡터 x는 다음 식을 만족하면 고유벡터라고 합니다.

$Ax = \lambda x$

x는 고유값 λ에 대응하는 A의 고유벡터입니다.

참고 사항:

하나의 고유값에 대응하는 고유벡터는 무한히 많을 수 있습니다.
서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터는 선형적으로 독립입니다.

고유값은 행렬 방정식의 특수한 집합입니다. n×n 정방행렬 A가 주어지면, [A- λI]는 고유 또는 특성 행렬이라고 불리며, 이는 정의되지 않은 스칼라 λ를 포함합니다. 여기서 |A- λI|의 행렬식은 고유 행렬의 행렬식으로, |A- λI| = 0은 고유 방정식 또는 특성 방정식입니다. “I”는 단위 행렬 (identity matrix)을 의미합니다. 고유 행렬 (Eigen matrix)의 근 (roots)은 고유근 (Eigen roots)이라고 합니다.

삼각 행렬과 대각 행렬의 고유값은 주대각선 요소와 동일합니다. 그러나 스칼라 행렬의 고유값은 그 스칼라 자체입니다.

고유값의 특성

고유값의 특성은 다음과 같습니다.

고유값이 다른 고유벡터들은 선형 독립적입니다.
특이 행렬은 0을 고유값으로 가집니다.
A가 정방행렬일 때, λ = 0은 A의 고유값이 아닙니다.
행렬의 스칼라 배수: A가 정방행렬이고 λ가 A의 고유값이라면, aλ는 aA의 고유값입니다.
행렬의 거듭제곱: A가 정방행렬이고 λ가 A의 고유값이며, n≥0인 정수라면, λ^n는 A^n의 고유값입니다.
행렬의 다항식: A가 정방행렬이고 λ가 A의 고유값이며, p(x)가 변수 x에 대한 다항식이라면, p(λ)는 행렬 p(A)의 고유값입니다.
역행렬: A가 정방행렬이고 λ가 A의 고유값이라면, λ^-1는 A^-1의 고유값입니다.
전치행렬: A가 정방행렬이고 λ가 A의 고유값이라면, λ는 A^T의 고유값입니다.

예제

2×2 행렬의 고유값(Eigenvalues)을 찾는 방법을 배우기 위해 아래 예제를 살펴봅시다:

2×2 행렬 A의 고유값을 찾기:

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

주어진 행렬:

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

고유 방정식을 사용하여:

$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

고유 방정식:

$|A - \lambda I| = 0$

계산 과정:

$\left| \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right| = 0$

$\left| \begin{pmatrix} 0 - \lambda & -2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} \right| = 0$

$\left| \begin{pmatrix} -\lambda & -2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} \right| = 0$

$-\lambda (4 - \lambda) - (-2)(3) = 0$

$-4\lambda + \lambda^2 + 6 = 0$

$\lambda^2 - 4\lambda + 6 = 0$

이 방정식을 풀면:

$\lambda(\lambda - 4) = 0$

따라서, $\lambda = 0$ 또는 $\lambda = 4$

따라서 주어진 행렬의 고유값은 $\lambda = 0$ 과 $\lambda = 4$ 입니다.

고유값에 대한 자주 묻는 질문

Q1. 고유값이란 무엇인가요?

고유값은 특성 또는 잠재적 근(root)으로도 알려져 있으며, 선형 방정식 시스템과 관련된 특별한 집합의 스칼라 값입니다.

Q2. 고유값이 0이 될 수 있나요?

네, Eigen값은 0이 될 수 있습니다. 하지만 우리는 0 벡터를 Eigenvector로 간주하지 않습니다.

Q3. 2×2 행렬에는 몇 개의 고유값이 있나요?

2×2 행렬에는 두 개의 고유값이 있을 수 있습니다. 이는 2×2 행렬이 두 개의 고유벡터 방향을 가지기 때문입니다.

Q4. 행렬 A의 고유값 λ는 무엇인가요?

행렬 A의 고유값 λ는 스칼라로, Av = λv 방정식이 비자명한 해를 가져야 합니다.

Q5. 고유값의 두 가지 속성은 무엇인가요?

고유값이 다른 고유벡터는 선형 독립입니다.
특이 행렬은 0 고유값을 가집니다.

참고